Nilai Mutlak, Akar Kuadrat, Kuadrat

Konsep nikhjkhlai mutlak sangat berguna dalam kalkulus dan pembaca perlu terampil dalam bekerja dengannya. Nilai mutlak suatu bilangan rill x, dinyatakan oleh │x│, didefenisikan sebagai

 

                                               

Misalnya, │6│ = 6,│0│= 0, dan │-5│=  -(-5) = 5.

                Defenisi dua-cabang ini patut dikaji secara seksama. Perhatikan bahwa ini tidak mengatakan bahwa │x│ selalu taknegatif; adalah benar juga bahwa │-x│ =│x│.

                Salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah sebagai jarak (takberarah). Khususnya, │x│ adalah jarak antara x dengan titik asal. Serupa,│x-a│adalah jarak antara x dengan a.

SIFAT-SIFAT  Nilai mutlak berprilaku manis dalam perkalian dan pembagian, tetapi  tidak begitu baik dalam penambahan dan pengurangan.

KETIDAKSAMAAN YANG MENYANGKUT NILAI MUTLAK Jika │x│< 3, maka x harus secara sekaligus  lebih kecil dari 3 dan lebih besar dari – 3; yaitu -3 < x < 3. Berlainan jika │x│ > 3, maka x < -3 atau x > 3.Ini merupakan kasus-kasus dari pernyataan umum berikut.

 

Contoh 1. Selesaikan ketaksamaan  │x-4│ < 1,5 dan perlihatkan himpunan penyelesaiannya pada garis rill.

Penyelesaian.Dari pernyataan kotak pertama dengan x digantikan oleh x-4, terlihat bahwa

│x - 4│ < 1,5     -1,5 < x -4 < 1,5

Bilamana 4 ditambahkan pada ketiga anggota ketaksamaan yang belakangan, diperoleh 2,5 < x <5,5.Ada cara lain untuk melihat masalah ini, dan ini sama pentingnya. Lambang │x - 4│ menyatakan jarak antar  x dengan 4.Jadi mengatakan │ x- 4│ <1,5 sama saja dengan mengatakan bahwa jarak antara x dengan 4 kurang dari 1,5.Bilangan –bilangan x yang mempunyai sifat ini adalah bilangan- bilangan antara 2,5 dan 5,5,yaitu 2,5 <x < 5,5.

AKAR KUADRAT  Setiap bilangan positif mempunyai dua akar kuadrat. Misalnya, dua akar kuadrat dari 9 adalah -3 dan 3 ; dua akar dari 100 adalah  10 dan 10. Untuk a ≥ 0, lambang disebut akar kuadrat utama dari a, yang menunjukkan akar kuadrat taknegatif dari a. Jadi  3 dan  Adakah tidak benar menuliskan  = 4. Berikut sebuah kenyataan penting yang bermamfaat untuk diingat.

 

KUADRAT   Berilah ke kuadrat, kita perhatikan bahwa

Ini berasal dari sifat │a││b│=│ab│.

Apakah operasi pengkuadratan mempertahankan ketaksamaan? Secara umum, jawabnya adalah tidak. Misalnya, -3 <2, tetapi ( -3)² >2^2.. Sebaliknya, 2 < 3 dan 2² <3². Jika kita bekerja dengan bilangan –bilangan taknegatif, maka a<b   a² <b². Salah satu varian dari bentuk ini adalah

CONTOH  2.   Selesaikan ketaksamaan  │3x +1│ < 2│x - 6│

Penyelesaian. Ketaksamaan ini lebih sukar diselesaikan dibandingkan contoh sebelunya, karena terdapat dua himpunan tanda nilai mutlak. Kita dapat bebas dari keduanya dengan memakai hasil dalam kotak yang terakhir.

│3x + 1│ < 2 │x - 6│         │ 3x + 1│                                              < │ 2x - 12│

                                                ( 3x + 1)²                                              < ( 2x – 12 )²

                                                9x²+ 6x + 1                                          < 4x² – 48x + 144

                                                5x²+ 54 x -143 <0

                                                (5 x -11 ) (x + 13 ) <0